구체의 관성 모멘트 적분 계산 방법

 

 

직선력

회전력

 

관성량

관성량 Inertia Moment는 회전 운동에서 질량 역할을 하는 물리량이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

구의 경우

r^2이 아니라 r^3

I=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV=\int r^{2}\rho 4\pi r^{2}dr=\int_{0}^{R}4\pi \rho r^{4}dr=[\frac{4}{5}\rho \pi r^{5}]_{0}^{R}

 

 

I=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV=\int r^{2}\rho 4\pi r^{2}dr=\int_{0}^{R}4\pi \rho r^{4}dr=\rho \int_{0}^{R}4\pi r^{4}dr=\left [ 4/5\rho \pi r^{5} \right ]_{0}^{R}=\left [ \frac{4}{5}\frac{3M}{4\pi r^{3}}\pi r^{5} \right ]_{0}^{R}=\frac{3}{5}MR^{2}

 

이 풀이는 틀린 풀이입니다.

 

이 풀이가 틀린 이유

 

이 적분은 원점에서 발산하는(뻗어나가는) 방향으로 쌓은 것인데

구체가 회전축을 기준으로 회전하므로

원판을 쌓은 것으로 생각해야 한다.

 

원판의 관성 모멘트를 이용하여 구의 관성 모멘.. : 네이버블로그 (naver.com)

원판의 관성 모멘트를 이용하여 구의 관성 모멘트 구하기(적분)

 

원판의 경우

 

 

 

 

 

I=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV=\int r^{2}\rho 4\pi r^{2}dr=\int_{0}^{R}4\pi \rho r^{4}dr=\int_{0}^{R}4\pi r^{4}\frac{3m}{4\pi r^{2}}dr=\int_{0}^{R}3mr^{2}dr=[4/5\rho \pi r^{5}]_{0}^{R}=\left [ \frac{4}{5}\frac{3}{4}\frac{m}{\pi r^{2}}\pi r^{5} \right ]_{0}^{R}=\left [ \frac{3}{5}mr^{3} \right ]

I=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV=\int r^{2}\rho 4\pi r^{2}dr=\int_{0}^{R}4\pi \rho r^{4}dr=\int_{0}^{R}4\pi r^{4}\frac{3m}{4\pi r^{2}}dr=\int_{0}^{R}3mr^{2}dr=\left [ mr^{3} \right ]_{0}^{R}=

계산시 적분 전에 밀도는 일정하므로 ρ를 밖으로 빼내야 한다.