적분의 정의와 종류

고등 교육과정의 정의방법

닫힌 구간$[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대한 정적분은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \Delta x \quad \left( x_{k} = a + k \Delta x,\ \Delta x =\frac {b-a} {n} \right)$ 


흔히 (고등학교 수학에서) 정적분을 정의할 때는 구간을 $n$ 개로 등분하고 그 분할간 구간의 오른쪽 끝의 함숫값을 통해 리만합을 정의하고 그 극한을 통해 정적분을 정의하는데, 이것은 특수한 경우이지 일반적인 경우가 아니다. 일반적으로는 리만합은 $n$ 개로 등분할 필요 없이 구간의 길이가 달라도 $n$ 개로 분할이기만 하면 되며 굳이 분할한 구간의 오른쪽 끝의 함숫값을 이용할 필요 없이 각 구간에 속하는 임의의 점의 함숫값을 이용하면 된다.(근데 이렇게 '아무렇게나 하면 된다'라는 말이 수학적으로는 오히려 제일 표현하기 어려운 경우라서 고등학교에서는 그냥 '똑같이 나눠서 오른쪽 끝 값을 더한다'라고 "뭉뚱그려서" 표현하는 것이다.)
그리고 정적분은 분할된 구간 중 가장 긴 구간의 크기를 0에 수렴하는 극한을 취한 리만합의 값으로 정의한다.

특정한 함수의 특정 구간에서의 정적분을 구해야 하는데 그 함수의 부정적분을 구할 수 없을 때는 수치적분을 이용하면 근삿값을 구할 수 있다. 이를 이용하면 정의역을 적절한 개수로 분할하고, 분할점에서의 함숫값을 구한 다음 이를 토대로 정적분의 대략적인 값을 구할 수 있다. 고등학교에서 배우는 좌리만합과 우리만합을 이용할 수 있고, 이 둘보다 일반적으로 더 정확한 중점리만합을 쓸 수도 있다. 그러나 이 셋보다는 훨씬 오차가 작은 사다리꼴 공식과 포물선 공식(Simpson's rule), Hermite's rule 을 수치적분용으로 많이 쓴다. 일반적으로(함수의 종류에 따라 다르기는 하지만) 포물선 공식과 Hermite's rule이 상당히 정확한 값을 낸다. 당연하지만 많이 분할할 수록 일반적으로 더 정확한 값을 얻을 수 있다. 분할하는 구간이 두 자리수가 되면 컴퓨터나 공학용 계산기를 쓸 수 밖에 없다. 계산기 중에서 간단한 프로그래밍 기능 등이 있어서 함수식을 저장하고 독립변수의 값에 따라 종속변수의 값을 내게 할 수 있다면 편리하게 구할 수 있다. 

적분은 크게 세가지로 나눌 수 있는데 우선 미분의 역연산으로서 정의되는 부정적분, 리만이 정의한 정적분, 그리고 특수한 경우인 이상 적분으로 구분된다. 

• 부정적분은 미분의 역연산에 해당한다. 즉, 함수 $f\left(x\right)$의 부정적분이 $F\left(x\right)$라고 함은 다음과 같은 뜻이다.
  $\displaystyle \frac {d}{dx}F\left(x\right) = f\left(x\right)$

• 정적분은 리만합의 극한으로 정의된다. 닫힌구간 $\left[a, b\right]$의 분할 $P=\left\{x_0, x_1, \cdots , x_n \right\}$가 있을 때 ($a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$) 임의의 $t_i \in \left[x_{i-1}, x_i\right]$($i=1, 2, \cdots , n$)에 대하여 
  $\displaystyle \int^{b}_a f\left(x\right) dx =\lim_{\left\|P\right\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(t_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)$
  만약 함수 $f\left(x\right)$가 닫힌구간 $\left[a, b\right]$에서 연속이라면 미적분의 기본정리에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.
  $\displaystyle \int^{b}_a f\left(x\right) dx =F\left(b\right)-F\left(a\right) \left(\frac {d}{dx}F\left(x\right) = f\left(x\right)\right)$

• 이상적분은 적분 구간이 무한대이거나 적분 구간에서 함수가 발산하는 점이 있는 경우이다. 당연히 극한의 개념이 필요하다.

• $\displaystyle \int^{\infty}_1 {1 \over x^2} dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int^{b}_1 {1 \over x^2} dx$

• $\displaystyle \int^{-1}_{- \infty} {1 \over x} dx = \lim_{b \rightarrow - \infty} \int^{-1}_{b} {1 \over x} dx$

• $\displaystyle \int^{1}_{0} {1 \over x} dx = \lim_{b \rightarrow 0+} \int^{1}_{b} {1 \over x} dx$

• $\displaystyle \int^{1}_{-1} {1 \over x} dx = \lim_{b \rightarrow 0+} \left(\int^{1}_{b} {1 \over x} dx+\int^{-b}_{-1} {1 \over x} dx \right)$

• $\displaystyle \int^{\infty}_{- \infty} {1 \over {x^2 +1}} dx =\lim_{b \rightarrow \infty} \int^{b}_{0} {1 \over {x^2 +1}} dx + \lim_{c \rightarrow - \infty} \int^{0}_{c} {1 \over {x^2 +1}} dx$

물론, 필요에 따라 다양한 방법으로 적분을 정의할 수 있다. 예를 들어, $n$ -미분 다양체 $M$ 위의 미분 $p$ -형식들의 smooth singular chain들 위에서의 적분을 정의하고 이를 공부함으로써 우리는 다양체의 de Rham cohomology space $H^{p}_{\text{DR}}\left(M\right)$ 와 real singular homology space $H_{p}\left(M, R\right)$ 의 쌍대공간이 서로 naturally isomorphic 함을 알 수 있다. 이는 다양체 위의 몇몇 미분방정식들의 해의 존재성(해석학적인 문제)은 그들이 살고 있는 공간(다양체)의 위상에 의해 결정된다는 의미이다. 이 밖에도 우리의 목적과 우리가 다루는 대상에 따라 '적분'의 대수적인 정의나 기하학적인 이해와 같은 다양한 관점이 존재한다.

고등학교에서 배우는 적분 방법을 대학 이상 과정에서는 리만 적분이라고 한다. 우리가 일반적으로 말하는 적분이란 바로 이 리만 적분이다. 독일의 천재 수학자 베른하르트 리만이 만들었다. 

수학과 전공자들은 리만 적분을 넘어서 르벡 적분(Lebesgue integral)과 측도론(measure theory)를 다룬다. 이것은 해석학의 마지막 장에나 나오기 때문에 학부 수준 수학과 전공자중에서도 보통 공부하지 않은 사람은 잘 이해하지 못하고 넘어가는게 대부분이다. 르벡 적분은 사실 실제 계산으로 사용되는게 아니라 개념적인 것으로서 주로 증명에 많이 이용된다. 르벡 적분이 가장 많이 쓰이는 곳이 바로 확률론이다. 

이를 이용하면 리만 적분이 불가능한 함수에 대해서도 적분을 정의할 수 있게 된다. 예를 들어 $x$가 유리수이면 $f\left(x\right) = 1$ 이고 $x$ 가 무리수이면 $f\left(x\right) = 0$ 인 디리클레 함수(Dirichlet function)를 0에서 1까지 리만 적분은 불가능하지만, 르벡 적분을 생각하면 적분값은 0이 된다. $\left[0,1\right]$ 에서 유리수는 가산집합이므로 측도는 0이고 무리수의 측도는 1이므로 $\displaystyle \int_{\left[0,1\right]}^{ } f d \mu = 1 \times \mu \left(\left[0,1\right] \cap \mathbb{Q}\right) + 0 \times \mu \left(\left[0,1\right] \cap \mathbb{Q}^c\right) = 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0$ 이다.

적분은 실수뿐만 아니라 복소수 범위 내에서도 하게 되는데, 복소수 자체가 2변수기 때문에, 자연스럽게 선적분을 사용하게 되며, 신기하게도 처음위치와 끝 위치만 같으면 '경로에 상관없이 모든 적분값이 같다' 라는 신기한 결론이 등장한다. 물론 피적분함수가 연속이고, 두 점을 잇는 경로들이 정의역 내에서 연속변형 가능하다는 가정이 있어야 한다.