무한 수열과 급수의 수렴 발산 판정법

수열

이는 정의역이 자연수인 함수와 같다.

급수

극한

이 존재하면 수렴, 아니면 발산

증가수열과 감소수열을 단조수열이라 한다

증명법

증가수열은 

감소수열은 

이 성립함을 보이면 된다.

n≥1인 모든 n에 대해 

an<M을 만족하는 수 M이 존재하면, 수열 an은 위로 유계

an>m을 만족하는 수 m이 존재하면, 수열 an은 아래로 유계

위로 유계인 동시에 아래로 유계인 수열은 유계수열이라 한다.

그러나 유계수열이 반드시 수렴하지는 않는다.

예를 들어 an=(-1)^n은 -1≤an≤1을 만족하는 유계수열이지만 수렴하지는 않는다.

유계인 수열 중 진동하지 않는 수열. 즉 증가하거나 감소하는 단조수열은 모두 수렴한다.

절대 수렴

이 수렴할 때, 는 절대수렴

조건부 수렴

이 수렴하지만 절대수렴하지 않을 때

p-series 판정법

위의 시리즈를 p급수라 한다.

p>1이면 수렴, p≤1이면 발산

적분판정법

f:[1,∞)에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수이며 an=f(n)

이때 급수 [n=1→∞]Σan이 수렴하기 위한 필요충분조건

k≥1인 자연수일 때, 다음을 만족한다.

 가 수렴하면 도 수렴

 가 발산하면 도 발산

형태가 안 보이는 경우 함수로 변환하여 미분 등의 연산을 시도해봐야 한다.

1 이상에서 감소하는지 확인.

비교판정법

과 의 각 항이 모두 양수일 때

이 수렴하고, 모든 에 대해 이면 도 수렴

이 발산하고, 모든 에 대해 이면 도 발산

적용

수열에 삼각함수가 붙어있는경우 sin&cos값이 1이하인 성질을 이용한다.

꼴인 경우

k≥3일 때 lnk>1이므로

그런데

는 발산한다!

따라서 Σlnk/k도 발산한다.

꼴인 경우 (a,b,c,d 양수)

이므로

p급수 판정법에 의해 수렴

따라서 원제 급수 또한 수렴

극한비교판정법

과 의 각 항이 모두 양수이고 C>0인 유한수에 대해

이 성립하면 두 급수는 모두 수렴하거나 발산한다.

꼴의 경우

로 설정하여 위 관계식에 대입

복잡한 구조일 경우 지배항으로만 구성된 비교수열을 만든다.

비판정법

이면  절대수렴

이면  발산

이면 판정불가

k!꼴이면 무조건 비판정법

꼴의 경우

이므로

의 경우

거듭제곱급수

x=a일 때만 수렴

모든 x에 대해 수렴

적당한 양수인 수렴 반지름 R 존재 |x-a|<R이면 수렴, |x-a|>R이면 발산

수렴 반지름

R>1일 때 위 거듭제곱급수로 정의된 함수는 구간 (a-R,a+R)에서 미분가능하다. 따라서 연속

이 함수에 미적분 연산을 하여 구한 거듭제곱급수의 수렴 반지름도 모두 R로 동일하다.

근판정법

이면 절대수렴

이면 발산

이면 결론 도출 불가

교대급수판정법

이 교대급수는 아래 두가지 조건을 만족하면 수렴한다.

1. 모든 n에 대해 

2. 

이 교대급수는 L에 한없이 가까워진다.

사실 2번 항목만 만족해도 수렴하는데, 이유는 극한이 0이면 계속 더할게 사라지기 때문

그러나 1/n은 예외다.

그러나 교대급수는 위와 상관없이 수렴한다.

교대급수추정정리

error\\ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ x{ e }^{ -{ x }^{ 2 } } } dx=-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -1 }^{ -\infty  }{ { e }^{ t } } dt\\ \int _{ -1 }^{ -\infty  }{ { e }^{ t } } dt=\int _{ 1 }^{ \infty  }{ { e }^{ -t } } dt={ \left[ -{ e }^{ -t } \right]  }_{ 1 }^{ \infty  }\\ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ x{ e }^{ -{ x }^{ 2 } } } dx=\frac { 1 }{ 2 } { \left[ \frac { 1 }{ { e }^{ t } }  \right]  }_{ 1 }^{ \infty  }=-\frac { 1 }{ 2e } \\ \int _{ -1 }^{ -\infty  }{ { e }^{ t } } dt={ \left[ { e }^{ t } \right]  }_{ -1 }^{ -\infty  }\\ \int _{ 1 }^{ \infty  }{ { e }^{ -t } } dt={ \left[ \frac { 1 }{ { e }^{ t } }  \right]  }_{ 1 }^{ \infty  }\\ \int _{ -1 }^{ -\infty  }{ { e }^{ t } } dt=\int _{ 1 }^{ \infty  }{ -{ e }^{ t } } dt\\ \int _{ -1 }^{ -\infty  }{ { e }^{ t } } dt\neq \int _{ 1 }^{ \infty  }{ { e }^{ -t } } dt