단조화 운동 : 진동과 진자

진동 및 진자

진동 Oscillation

원운동과 단진동

원운동을 하는 추에 평행 광선을 투사하면 단진동으로 나타난다.

시간별 공의 위치를 자세히 나타내면 위와 같다.

GIF 모형

이를 주기에 대한 그래프로 나타내면 삼각함수로 표현된다.

전자기파의 진행도 이렇게 나타낼 수 있다.

이 또한 용수철로 모형화 할 수 있다.

화학에서의 적용

분자 내 두 중성 원자 사이의 힘에 관련된 위치 에너지 Interatomic Potential Energy

레너드-존스 에너지 함수 Lennard-Jones Potential

이 함수를 미분한 값이 0이 되는 지점이 평형점이다.

Equilibrium point is zero that differential value of this function

감쇠 진동과 강제 진동

감쇠 진동 : 마찰, 저항 같은 비보존력이 존재하여 역학적 에너지가 감소하는 진동

즉, 영원히 진동하지 않고 점점 줄어들며 결국 멈추게 된다.

강제 진동 : 그네를 미는 것처럼 외력을 가한다.

진자 Pendulum

단진자

진자에 가해지는 중력의 접선 성분 방향은 각도와 항상 반대

★☆단조 운동과 진자 운동의 비교☆★

공통사항 : 각속도 오메가값 대입

여러가지 진자

Varieties of Pendular System

물리 진자

점질량으로 근사할 수 없을 때

Physical Pendulum

비틀림 진자

비틀려 돌아가는 진자

Torsional Pendulum

정지 관성으로 인해 용수철에서처럼 저항력이 발생한다. 증가한 각도의 반대 방향으로 돌림힘이 가해짐

원형 진자

원운동 하는 진자

Circular Pendulum

이렇게 하면 좋겠지만.. 아쉽게도 회전진자에 스프링 모델링은 억지스럽다.

하지만 위 식은 그림자로 투영한 원진자의 운동을 설명할 수 있다.

이 각속도가 원형 진자의 운동을 기술한 것이다.

복잡한 진자

결합 진자

Coupled Pendulum

공명의 에시 중 하나

사이에 스프링이 있는 것으로 모형화

공기저항이 작용하는 계와 흡사하게 보이나... s≠x

이중 진자

Double Pendulum

​1​​물체의 운동에너지는 
$T_1=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1$
위치에너지는 
$U_1=-m_1gl_1cos\theta_1$
이며, $m_2$물체의 운동에너지는 
$T_2=\frac{1}{2}m_2\left ( \dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2\right )=\frac{1}{2}m_2\left [ l_1^2\,\dot{\theta}_1^2+l_2^2\, \dot{\theta}_2^2+2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\right ]$
위치에너지는 
$U_2=-m_2g(l_1cos\theta_1+l_2cos\theta_2)$
이다.

따라서 두 물체로 이루어진 계의 라그랑지언은 
$L=T-V=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\,\dot{\theta}_1^2+\frac{1}{2}m_2l_2^2\,\dot{\theta}_2^2+m_2l_1l_2\,\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)gl_1\cos\theta_1+m_2gl_2\cos\theta_2$
이다. $\theta_1$에 대하여 오일러 방정식을 풀면
$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_1}=(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)$
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_1} \right )=(m_1+m_2)l_1^2\,\ddot{\theta}_1+m_2l_1l_2\,\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2l_1l_2\,\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)$
$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \theta_1}=-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \sin(\theta_1-\theta_2)-(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1$
정리하여 다음의 운동방정식을 얻는다.
$\displaystyle (m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)g\sin\theta_1=0$

같은 방법으로 $\theta_2$에 대하여 오일러 방정식을 풀면
$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_2}=m_2l_2^2\dot{\theta}_2+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)$
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_2} \right )=m_2l_2^2\ddot{\theta}_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)$
$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \theta_2}=m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \sin(\theta_1-\theta_2)-m_2gl_2\sin\theta_2$
정리하여 다음의 운동방정식을 얻는다.
$\displaystyle m_2l_2\ddot{\theta}_2+m_2l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2g\sin\theta_2=0$

해석역학없이 뉴턴역학만으로는 운동방정식을 구할 엄두가 안 날 것이다. 이중진자는 해석학이 필요한 대표적인 예 중의 하나이다.