만유인력과 중력장 및 천체의 운동

Fg=Gm1m2r2

뉴턴의 만유인력 법칙

Force of Gravity

Force of Universal Gravitation

on Earth, r=R+h

gravity on surface of the Earth, F=mg

위성의 자전속도

rotating velocity of satellite

만유인력 에너지

중력 퍼텐셜 에너지 (잠재적 위치 E)

Gravitational Potential Energy

The reason that minus value of GPE is reverse between force vector and moving direction.

attraction force has negative energy,

repulsive force has positive energy.

이상 외부 만유인력

이하 내부 만유인력

따라서 행성 내부에 작용하는 만유인력을 다음과 같은 용수철 진자운동으로 모형화 할 수 있다.

지구의 중심을 지나면 진행 반대 방향으로 중력이 가해지게 된다.

힘의 평형을 이루는 부분(빨간색)이 천체의 중심

더 무거운 물체의 경우 F=GMm/r^2에서 m에 비례, 더 큰 중력이 가해진 다는 것을 용수철을 이용하여 유추할 수 있다.

역학적 에너지 보존

conservation of dynamic energy on universal gravitation

on Circular orbit,

on Oval orbit,

케플러의 법칙

Kepler's Law

다음 도면에서 원점(0)을 중심으로 하고 초점(F)이 X축 상에 있는 타원궤도 방정식은
x²/a² + y²/b² = 1(a＞b)이며 PF+PF'=2a (장축)이 된다.

제1법칙 : 타원 궤도의 법칙

행성은 타원을 궤도로 공전한다. 이 때 타원의 두 초점 중 한 곳에 항성(태양)이 위치한다.
r1 + r2 = k(일정) (r1과 r2는 행성과 초점 사이의 최단 거리)

제2법칙 : 면적 속도 일정의 법칙

항성과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 일정하다.

이것은 각 운동량 보존의 결과로 설명 가능하다.

Kepler's 2nd law can be explained as a result of conservation of angular momentum.

pf.

제3법칙 : 조화의 법칙

행성의 공전 주기의 제곱은 그 행성의 타원 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다.

pf.

탈출 속력

Escape Speed

블랙홀 표면(사건 지평선)에서, 탈출 속력은 광속이다. 즉, 오직 빛만 유일하게 블랙홀의 중력으로부터 탈출할 수 있다.

at event horizon surface of Black hole,

Rs : 슈바르츠실트 반경 (Schwarzschild radius, 탈출 속력이 광속 c인 임계 반지름)

Mx : 블랙홀의 질량

만유인력 상수 G=6.6726×10^-11Nm²/kg^-2

광속 c=299,792,458m/s

{ \frac { \sqrt { { (m-c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } +\sqrt { { (m+c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } }  }{ 2 }  }^{ 2 }={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }\\ \frac { \{ { (m-c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 }\} +\{ { (m+c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 }\} +2\sqrt { { (m-c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } \sqrt { { (m+c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } }  }{ 4 } ={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }\\ \{ { (x-c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\} +\{ { (x+c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\} +2\sqrt { \{ { (x-c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\} \{ { (x+c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\}  } =4({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 })\\ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+\sqrt { \{ { (x-c })^{ 2 }+{ yn }^{ 2 }\} \{ { (x+c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\}  } =2({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 })\\ \sqrt { \{ { (x-c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\} \{ { (x+c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\}  } =2({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 })-({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })=2M-N\\ \{ { (x-c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\} \{ { (x+c })^{ 2 }+{ y }^{ 2 }\} =4{ M }^{ 2 }+{ N }^{ 2 }-4MN\\ { (x-c })^{ 2 }{ (x+c })^{ 2 }+\{ { (x-c })^{ 2 }+{ (x+c })^{ 2 }\} { y }^{ 2 }+{ y }^{ 4 }=4{ ({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }) }^{ 2 }+{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ 2 }-4{ ({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }) }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }\\ \\ \sqrt { { (m-c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } +\sqrt { { (m+c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } =2a\\ \sqrt { { (m-c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } =2a-\sqrt { { (m+c })^{ 2 }+{ n }^{ 2 } }