벡터의 연산 [내적과 외적]

공업수학 : 공학적 계산 수학

벡터 계산법

내적 (스칼라 곱셈)

외적 (벡터 곱셈)

자연수학 : 이학적 이론 수학

내적

1. 개요

벡터 공간에서 정의된 이중 선형(bilinear) 함수의 일종. inner product 또는 dot product라고 부른다.

보통 내적은 벡터의 크기를 측정하는 용도로 쓰인다. 크기는 실수와 복소수에서 가능한 이야기이나, 일반적인 체 위에서도 내적에 대해 이야기할 수 있다. 본 문서에서는, 실수, 복소수, 일반적인 체로 나누어 설명하기로 한다. 

내적이 주어진 벡터 공간을 내적 공간(inner product space)이라 한다. 행렬에서의 곱셈이 이상하게 정의된 이유가 바로 이것이다. 행렬 곱셈의 결과 행렬은 앞 행렬의 행벡터와 뒤 행렬의 열벡터를 내적한 값을 스칼라로 가지는 행렬이라고 할 수가 있다.

또한 내적은 적분으로도 정의가 되기도 하는데 공대에서 흔히 쓰이는 푸리에 해석이 바로 내적의 한 예이다.

모든 내적이 우리가 아는 dot product 로 정의되지는 않지만 벡터를 내적공간에 있는 정규직교기저(orthonormal basis)로 표시하면 어떤 내적이라도 dot product처럼 표현된다.

2. 정의

체 $F$의 벡터 공간$V$의 내적$\left( \cdot \mid \cdot \right)V\times V\rightarrow F$은 다음을 만족한다.

• (이중 선형성)임의의 $u,v,w\in V$와 $a\in F$에 대해,
  -* (첫번째 인수에 대한 선형성)$\left( au+v \mid w \right)=a\left( u\mid w \right)+\left(v \mid w \right)$
  -* (두번째 인수에 대한 선형성)$\left( w\mid au+v\right)=a\left( w\mid u \right)+\left(w \mid v \right)$

• (대칭성)임의의 $u,v,w\in V$와 $a\in F$에 대해,
  $\left( u\mid v\right)=\left( v\mid u \right)$

• (비퇴화성)임의의 $v\in V$에 대해,
  $\left( v\mid v\right)=0\rightarrow v=0$

3. 추가적인 공리 및 변형

상황에 따라서, 위의 공리들이 변형되거나 몇 가지 공리들이 추가된다.

3.1. 실수 $\mathbb{R}$ 에서

• (음이 아님)임의의 $v\in V$에 대해,
  $\left( v\mid v\right)\geq 0$

3.2. 복소수 $\mathbb{C}$ 에서

이하의 세 공리는 자신과의 내적을 실수로 만들기 위한 것이다.

• (음이 아님)임의의 $v\in V$에 대해,
  $\left( v\mid v\right)\geq 0$

• (켤레 대칭)임의의 $u,v\in V$에 대해,
  $\left( u\mid v\right)=\overline{\left( v\mid u \right)}$

• (두번째 인수에 대한 켤레 선형성)임의의 $u,v\in V$에 대해,
  $\left( u\mid av+w\right)=\overline{a}\left( u\mid v \right)+\left( u\mid w \right)$[1]

4. 직교여부분공간(orthogonal complement subspace)

내적 공간 $V$의 부분공간 $W<V$을 생각하자. $W$의 직교여부분공간(orthogonal complement subspace) $W^{\perp}$을 다음과 같이 정의한다.[2] 실제로 $W^{\perp}$은 부분공간이다.

$W^{\perp}:=\left\{v\in V:\forall w\in W \left(v\mid w\right)=0\right\}$

다음을 쉽게 알 수 있다.

• $V=W\bigoplus W^{\perp}$

외적

외적(外積)은 두 벡터의 곱에 관한 수학적 용어이다. 우리나라에서는 두 가지의 다른 개념을 외적이라는 말을 사용하고 있다. 혼동하지 말 것. 보통 1번의 개념으로 많이 사용하지만 1번은 엄밀히 말해서 내적에 대응하는 용어로의 의미로만 외적이라는 단어를 사용했기 때문에 혼동을 줄 수 있는 개념이다.

1. 벡터곱(Cross Product)

외적(outer product, cross product)는 3차원 벡터 공간에서 정의된 이중 선형(bilinear) 함수의 일종이다. 내적(dot product)과는 달리 결과값은 벡터가 된다. 두 벡터 $a$, $b$의 외적 $a \times b$의 크기는 $|a| |b|\sin \theta$이고($\theta$는 $a$, $b$가 이루는 각의 크기), 방향은 $a$, $b$에 모두 수직이다.

외적은 주로 토크나 각운동량 같이 회전에 관계된 물리량을 측정할 때 사용한다. 예를 들면 토크의 크기는 고정점에 대한 작용점의 변위 벡터를 r, 작용점에 작용하는 힘 벡터를 F라고 놓을 때 $\tau = r \times F$와 같이 정의된다.

1.1. 정의

체 $F$에 대해 3차원 벡터공간 ${F}^{3}$이 주어졌다고 하자. 이때 벡터공간의 벡터 $\mathbf{x}=\left( x_1 , x_2 , x_3 \right)$ 와 $\mathbf{y}=\left( y_1 , y_2 , y_3 \right)$외적 $\mathbf{x} \times \mathbf{y}$는 다음과 같이 정의된다.

• $\mathbf{x} \times \mathbf{y} = \left( x_2 y_3 - x_3 y_2 , x_3 y_1 - x_1 y_3 , x_1 y_2 -x_2 y_1 \right)$

• 행렬식으로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.

  $\mathbf{x}\times\mathbf{y}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{bmatrix}$

2. 텐서곱(Outer Product)

1의 벡터곱과는 달리 두 벡터의 곱으로 묘사된다. 두 열벡터 $u, v$의 내적(inner product) $\left( u , v \right)$이 차원이 같은 행벡터 u와 열 벡터 v의 곱으로 표현된다면(다시 말해 $u^t v$), 외적(Outer Product) $u \otimes v$는 열벡터 u와 행벡터 v의 곱으로 표현된다.(다시 말해 $u v^t$) 두 벡터 u, v가 차원이 다를 때에도 정의되며, 행렬의 원소 $x_ij$에 대해 $x_ij = u_i v_j$의 관계식이 성립한다. 다시 말해

• $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_mv_1 & u_mv_2 & \cdots & u_mv_n \end{bmatrix}$

• 
  

개요

텐서곱은 선형대수학에서 여러 의미로 사용되는 개념이다.

두 텐서의 텐서곱

$k$ 텐서 $T$와 $l$ 텐서 $S$가 주어져 있다고 하자. 그러면 $T$와 $S$의 텐서곱은 $T\bigotimes S(v_1, ..., v_k, v_{k+1}, ..., v_{k+l})$ $:= T(v_1, ..., v_k) \times S(v_{k+1}, ..., v_{k+l})$로 정의되는 $k+l$ 텐서이다. 즉, 처음 $k$개 좌표를 T에 넣고, 그 다음 $l$개 좌표를 S에 넣어서 곱하는 함수이다. 이런 정의 때문에, 텐서 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 하지만, $F$ 상의 곱은 결합 법칙이 성립하므로, 결합 법칙은 성립한다고 할 수 있다. 결합 법칙이 성립하므로, 여타 다른 연산과 마찬가지로 텐서 곱을 여러 번 할 때 괄호를 생략할 수 있다.

 이 문단의 내용 중 전체 또는 일부는 텐서 문서의 56판, 1.2.1번째 문단에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기

두 벡터 공간의 텐서곱

벡터 공간 $V$와 $W$가 주어져 있다고 하자. 그러면 $V$와 $W$의 텐서곱 $V \bigotimes W$는 이들로부터 쌍선형적으로 확장되는 벡터 공간이다. 텐서곱의 정의는 여러 방식으로 가능하며, 여기서는 아래의 두 가지를 다루도록 하자.

1. 텐서곱 연산에 의해 생성되는 벡터공간

$V, W$의 기저 $\mathfrak{B} = \left\{ v_1, \cdots, v_n \right\}$, $\mathfrak{C} = \left\{ w_1, \cdots, w_m \right\}$가 주어져 있다고 하자. 그러면 $V\bigotimes W$는 $v_i \bigotimes w_j$들에 의해 생성되는 벡터 공간이다. 이 때 이 공간의 덧셈과 스칼라곱은 다음과 같이 연산자 $\bigotimes$가 $V, W$의 덧셈과 스칼라곱에 대해 선형적이도록 정의된다. 즉,

• 임의의 $c \in F$와 $v, v' \in V$, $w, w' \in W$에 대해 다음이 성립한다.

  • (스칼라곱) $c\left( v\bigotimes w \right) := \left(cv \right) \bigotimes w = v \bigotimes \left(cw \right)$

  • (덧셈 1) $v\bigotimes w + v' \bigotimes w := \left(v + v' \right) \bigotimes w$

  • (덧셈 2) $v \bigotimes w + v \bigotimes w' := v \bigotimes \left( w + w'\right)$

이 정의에서 어떤 기저를 골라도 각각의 텐서곱은 동형이다. 또한, 텐서곱을 여러 번 할 때 어떤 순서로 해도 각각은 동형이므로 동형의 관점에서 결합 법칙이 성립한다고 할 수 있다.

여담으로, 사실 텐서 공간 $\mathfrak{J}^{k}\left(V\right)$는 이러한 방식으로 $V^{*}$의 텐서곱으로 정의된 것이다.

2. 곱공간의 몫공간

위의 정의는 각각이 동형이기는 해도 정의가 기저에 의존적이라는 문제가 있다. 이 문제를 해결하기 위해 텐서곱 $V\bigotimes W$을 곱공간 $V \times W$의 몫공간$\left. V \times W \right/ \sim$으로 정의하기도 한다. 이 때 동치 관계 $\sim$는 위의 정의에서 주어진 텐서곱의 세 가지 법칙에 따라 주어진다. 즉,

• 임의의 $c \in F$와 $v, v' \in V$, $w, w' \in W$에 대해 다음이 성립한다.

  • (스칼라곱) $c\left( v, w \right) \sim \left(cv, w \right) \sim \left(v, cw \right)$

  • (덧셈 1) $\left(v, w\right) + \left(v', w\right) \sim \left(v + v', w \right)$

  • (덧셈 2) $\left(v, w\right) + \left(v, w'\right) \sim \left(v, w + w'\right)$