주의: 고등학교 미적분의 기초적인 개념을 알고있지 않다면 이
해가 어려울 수 있습니다.
현대 수학에서 미적분학과 해석학을 엄밀하게 논리적으로 발전
시키는 과정에서, 수학자들이 직관에 반하는 함수를 잔똑 만들
어냈습니다.
이런 함수들은 아래에서 소개할바이어슈트라스 함수(별명은
실해석학의 괴물")처럼 온갖 기괴한 성질들을 가지는 것이 특징
이랍니다.
예를들면 '모든 곳에서 뾰족하다'든지 '모든 곳에서 꿈어져있
다'든지..
1. 디리클레 함수
/(
)
O
Fig. 2-3
(그림에 속지 마세요! 유리수일때 1, 무리수일때 0인 함수입니
다)
성질: 모든점에서 불연속, 미분 불가능, 리만적분 불가능
2.토매 함수
f(프)=
fx=
ifz is rational, , in lowest terms andg > 0
fz is irrational.
성질: 유리수에서 불연속, 무리수에서 연속, 미분 불가능, 리만
적분가능
3.바이어슈트라스 함수 (별명은 '실해석학의 괴물')
10
성질: 연속함수, 모든 점에서 미분 불가능, 리만적분 가능
4. 칸토어함수 (별명은 '악마의 계단')
성질: 연속함수, '거의 모든' 점에서 기울기 0, 미적분학의 기본
정리가 작동하지않음
5. 볼테라 함수
성질:모든 점에서 연속이고 미분 가능, 도함수는 리만적분 불가
능
출처
https://mathworld.wolfram.com/MonstersofRealAnal
ysis.html
ttps://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction
htm!
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Voltera%27s functio
nttps://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_ function
https://en.wikipedia.orgwiki/Cantor _ function
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