파동 물리학의 기초

2017. 10. 21. 00:33

시간여행가 물리학/파동학

현재 물리학계의 뜨거운 화두인 중력파 gravitational wave 모식도

직교좌표계 삼각함수 y=sinx와

극좌표계 곡선함수 r=θ가

어우러진 파동이다.

중심축이 포함된 평면으로 자르면 삼각함수가 나온다.

x,y평면을 r,θ평면으로

x,z평면을 r,h평면으로

규정하면

을 동시 만족해야 한다.

중력파 방정식은

θ가 일정할 때(+2nπ) h는 삼각함수이며

r곡선을 따라서는 h가 일정하다.

수면파

수소 전자 궤도

파동 함수 ψ

양자 역학의 근간인 슈뢰딩거 방정식

파동은 Wave. 물질 혹은 공간의 한 곳에서 시작된 진동이 퍼져나가는 현상이다.

마루	파동의 가장 높은 부분
골	파동의 가장 낮은 부분
파장	이웃한 마루 (골) 와 마루 (골) 사이의 거리
진폭	진동 중심에서 마루 또는 골 까지의 거리
주기	매질의 한 점이 한 번 진동하는데 걸리는 시간
진동수	매질의 한 점 1초 동안 진동하는 횟수

매질의 유무로 파동의 종류를 나눌 수 있는데, 하나는 공기를 매질로 하는 소리(음파)나 물을 매질로 하는 수면파 등 전파되는 데에 매질이 필요한 역학적 파동이고, 다른 하나는 매질 없이도 전파되는 파동인 빛, 즉 전자기파가 있다. 참고로 전자기력의 매개체가 광자이다. 양자역학에서는 이 파동이 '확률'을 나타내는 개념까지 확장된다.

이러한 물리적인 파동은 진동수(보통 2π를 곱한 값인 각진동수 ω를 사용)와 파장(λ, 보통은 파장의 역수에 비례하는 파수<波數, wave number> k를 사용한다. {파장의 역수 그대로 쓰기도 하고, 각진동수처럼 거기에 2π를 곱한 위상 상수를 사용하기도 한다. 고등~대학교의 전 과정에서 k는 보통 후자로 표시되는데, 그도 그럴 것이 후자 쪽이야말로 파수라는 명칭이 뜻하는 바인 '파의 개수'를 직관적으로 상징하기 때문}), 시간과 공간에서의 주기성에 의해 이 두 양에 대한 관계식은 파동방정식이라고 불리는 편미분방정식의 꼴로 나타내어진다. 1차원에서 진행하는 파동의 경우는 다음과 같다.

$\dfrac{ \partial^2 f }{ \partial x^2 } = \dfrac{ 1 }{ v^2 } \dfrac{ \partial^2 f }{ \partial t^2 }$

가장 간단한 형태는 사인함수 꼴이며[Acos(kx-ωt)], 아무리 복잡한 파동이라도 푸리에 변환을 통해 여러 개의 사인파가 중첩된 것으로 표현할 수 있다.

겉보기보다 물리학에서 매우 중요한 위치를 갖는데, 전자기파의 파동방정식이 고전적인 좌표변환을 하면 식 자체가 변해버려 '물리법칙이 관점마다 달라진다'는 오류를 내뱉는 것에서 결과적으론 직관적으로 보이는 좌표변환이 틀린 방법이라는 상대성 이론까지 이어진다. 또한 빛이 입자냐 파동이냐는 20세기 초 물리학계의 최대의 떡밥이었고 빛은 입자이기도 하고 파동이기도 하다 라는 결론을 낳고 끝났다. 애매하게 모르는 채로 놔둔 게 아니고 정말로 이렇게 이해하는 것으로 끝났다. 나아가, 양자 역학을 처음 배우는 그 순간부터 손 놓게 될 마지막 순간까지 보게 될 슈뢰딩거 방정식이 바로 이 파동방정식의 형태이므로 양자역학을 이쪽으로 접근하게 된다면 그냥 슬프게도 처음부터 끝까지 이것만 줄창 보게 된다. 사실 이와 동치인 하이젠베르크의 행렬역학이 있지만 이건 배우기도, 이해하기도, 가르치기도 어려워서 학부 시절에는 스핀을 설명할 때같이 다른 방식으로 설명하면 개념이 더 복잡해지는 경우까지 진도가 안나가면 다루지 않으므로…. 양자역학이라면 백에 아흔아홉은 슈뢰딩거식 파동역학으로 이해하게 된다. ~~나머지 하나 배우려면 박사 과정 밟고 연구소로 간다~~ 이만큼 중요해서인지 석사과정에 입학하려면 적어도 전자기파의 파동방정식은 즉석에서 유도가 가능해야 말이라도 꺼내는게 가능하다고 전해진다.

진동수 frequency