수학적 극한의 엄밀한 정의, ε-δ 논법 증명 일반화 [엡실론-델타]

대략적인 개념[편집]

의 그래프가 위와 같을 때, 면 이다.

함수 ƒ가 있다고 하자.

위 식은 x를 c에 충분히 가깝게 하면 함수 ƒ(x)가 L에 가까워지도록 만들 수 있다는 것을 의미한다. 이 때 x가 c와 같아지지 않아도 되며, 심지어 f(c)가 정의되지 않아도 상관없다.

"x를 c에 충분히 가깝게" 에서 x가 c에 가까운 정도는, ƒ(x) 를 L에 가까워지게 할 정도에 따라 다르다. 물론 그것은 함수 ƒ 와 실수 c에 따라 결정된다. 양수 ε는 ƒ(x)가 L에 가까운 정도를 나타낸다. 즉 ƒ(x)와 L의 거리가 ε 이상이 되지 않는다는 것을 의미한다. 양수 δ는 x가 c에 가까운 정도를 나타낸다. 즉 x와 c사이의 거리가 0이 아닌 수 δ보다 작을 경우, ƒ(x)와 L사이의 거리도 ε보다 작아진다. 따라서 δ는 ε에 따라 결정된다. 이러한 극한의 표현법은 ε이 아무리 작더라도, 그에 따라 δ이 충분히 작아질 수 있다는 것을 의미한다.

문자 ε와 δ는 각각 "오차" 와 "거리" 로 이해할 수 있다. 실제로 코시는 그의 연구에서 ε를 "오차(error)" 의 약자로 사용했다. 이러한 관점에서 말하면, 오차 ε는 거리 δ를 감소시키고 싶은 만큼 작게 만들 수 있다. 이러한 정의는 하나 이상의 다변수 함수에서도 성립한다.

수학적 정의[편집]

함수의 극한의 (ε, δ) 정의는 다음과 같다:

c를 포함하는(c에서는 제외) 열린구간에서 정의되는 함수 ƒ 와 실수 L에 대해,

위 식은 다음을 뜻한다. 임의의 실수 ε > 0 에 대하여 실수 δ > 0 가 존재해서, 0 < |x - c| < δ을 만족하는 모든 x에 대하여, 부등식|ƒ(x) − L| < ε 을 만족한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

다른 많은 정의들에서도 이용되는 이 실부등식은 볼차노와 코시 등에 의해 처음 사용되었고 바이어슈트라스에 의해 정식화되었다.

활용[편집]

연속[편집]

함수 ƒ가 c에서 정의되고 c에서의 함수값이 x가 c에 가까워질 때의 ƒ(x)의 극한값과 같을 때, 함수 ƒ를 c에서 연속이라 한다:

조건 0 < |x - c| 가 극한의 정의에서 제외되면, 함수 ƒ(x)가 c에서 극한값을 가져야 하는 것은 ƒ(x)가 c에서 연속이어야 하는 것과 같다고 할 수 있다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

같이 보기[편집]

• 수열의 극한
• 미적분학
• 해석학

출처 : 위키피디아

요약

모든 ε에 대해

인 δ가 존재

일반적인 개념은 위와 같습니다.

중요한 건 어떻게 다루느냐는 거죠

이제 그것을 알아보도록 하겠습니다.

y-L이 x-a의 상수배일 때

위와 같이 매우 깔끔하게 답이 나옵니다.

그러나 실제 시험장에선 이런 쉬운 문제가 나오지는 않겠죠

y-L이 x-a의 변수배일 때

이 경우엔 앞서 위에 언급한 상수배의 경우처럼 일반화를 할 수가 없습니다.

뭔가 대변을 보고 안 닦은 것처럼 매우 찝찝하고 허전한데

그래도 일단은 뭐라도 남기는 게 중요하니까

몇 가지 사레를 가지고 최대한 유형에 따라 분류할 수 있도록 정리하겠습니다.

먼저, 특정한 함수로 예를 들면

이 경우에,

보통 이렇게 생각하기 쉽습니다.

이렇게 풀면 맞을거같긴 한데...

x값이 변하면 δ값도 변하고, 이에 따라 ε값도 변하죠

그런데 ε은 δ에 대응되는 값입니다.

게다가 극한을 정의하기 위해서 오차 구간 범위를 충분히 좁게 취해야 하죠

그럼 이렇게 두루뭉실하게 말고 한번 확인해보죠

이 함수 y=x²-4의 경우는 위의 그래프처럼 델타와 엡실론의 크기가 정해집니다.

x가 작아질수록 ε도 작아집니다. 엑스가 커질수록 입실론도 커지죠

δ는 일정한데 말입니다.

그런데 위에서 구한 ε=δ/(x+2)에서 δ를 통제변인으로 두면 ε는 x에 반비례합니다.

따라서 석박사 과정의 고급수학을 배우지 않더라도 왜 이 풀이가 잘못되었는지는 결과를 해석하여 알 수 있게 되죠

이 경우는 이렇게 풀어야 합니다.

델타의 값을 δ=1로 두면! 이게 중요합니다.

이렇게 델타를 정하면(강제로 잡으면) 

미지수의 범위가 

이렇게 됩니다.

이기 때문에

로 정해주면 됩니다.

기출문제로 한번 확인해보죠

ㅇ대학 09 연세대

임을 증명하시오.

다른 문제에서 이 단서를 써먹을 수 있으니 알아둡시다.