각 운동량 및 회전

관성모멘트

회전축을 중심으로 회전하는 물체가 계속해서 회전을 지속하려고 하는 성질의 크기

회전질량 같은 개념으로 생각하면 될 듯 하다.

병진운동에서 질량같은 성질을 같는 물리량

회전 운동 에너지

회전축으로부터의 거리에 대한 밀도함수가 주어진 경우

위에서부터 부피밀도, 표면밀도, 선밀도

원기둥일 경우

원뿔일 경우

cf. 각뿔일 경우??

평행축 정리

평행축 정리는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. 질량이 $m$인 물체의 질량중심을 통과하는 회전축에 대한 관성 모멘트를 $I_{cm}$[1], 그 회전축에 평행하고 거리가 $d$만큼 떨어진 회전축에 대한 관성 모멘트를 $I$라 하면, $I=I_{cm}+md^2$이다

수직축 정리

수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. $x-y$평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해[2], 서로 수직한 세개의 축을 각각 $x, y, z$축이라고 하고, 그 각각의 축에 대한 관성 모멘트를 $I_x, I_y, I_z$라고 하면, $I_z = I_x+I_y$ 의 관계가 성립한다는 정리이다.
증명은 꽤 간단하다. 피타고라스의 정리에 의해, $r^2 = x^2+y^2$이다.
따라서 $\displaystyle I_z = \int r^2 dm =\int (x^2+y^2) dm = \int x^2 dm + \int y^2 dm = I_y+I_x$가 성립함을 보일 수 있다.

토크

물체에 작용하여 물체를 회전시키는 원인이 되는 물리량으로서 돌림힘 또는 비틀림모멘트라고도 한다. 

단위는 N·m 또는 kgf·m를 사용한다.

$$
\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} 이유는?

무조건 공식으로 암기하기보다는, 물체를 회전시키는 데에 관련한 물리량이라는 점에 의거하여
위의 식 $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ 를 이끌어 낼 수 있다

기준점인 O점에 대해서, 힘 F에 의해 질점이 A위치로부터 B위치로 이동하는 상황을 생각해 보자
이는 힘 F가 질점을 이동시키기 위해, 질점에 대해 일(Work)을 해야 한다 는 의미이다

질점에 대해 힘 F가 한 일 $\Delta W$ 는
$\Delta W = \vec{F} \cdot$ $\Delta$ $\vec{r}$ [3] 이고, $\Delta$ $\vec{r}$ $=$ $\vec{r_2}$ $-$ $\vec{r_1}$ 이므로

$\vec{r_2}$ $= rcos( \theta + \Delta \theta) i + rsin( \theta + \Delta \theta) j$ 
$\vec{r_1}$ $= rcos \theta i + rsin \theta j$ 

여기서 삼각함수의 성질
$sin( \theta + \Delta \theta ) =sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta$
$cos( \theta + \Delta \theta ) =cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta$ 
을 이용하여 $\vec{r_2}$ $-$ $\vec{r_1}$ 을 정리하면

$\vec{r_2}$ $-$ $\vec{r_1}$ $= r(cos \theta cos \Delta \theta - sin \theta sin \Delta \theta - cos \theta ) i - r( sin \theta cos \Delta \theta +cos \theta sin \Delta \theta -sin \theta)j =$ $\Delta$ $\vec{r}$
이제 매우 짧은 각의 변화$\Delta\ \theta\approx 0$ 에 대해 $sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , cos \Delta\theta \approx 1$ 임을 이용하여
$\Delta$ $\vec{r}$ $= -rsin \theta \Delta \theta i + rcos \theta \Delta \theta j = -r_y i + r_x j$ 이고
$\vec {F} = F_x i + F_y j$ 이므로 

따라서 일(Work)의 정의에 따라 둘을 내적하여 $\Delta W = \vec {F} \cdot$ $\Delta$ $\vec {r}$ $= \Delta W = (r_x F_y - r_y F_x)\Delta \theta$ 이다

괄호 안의 식을 잘 보자! 
$(r_x F_y - r_y F_x)$ 는 결국 우리가 의미없이 암기했던 돌림힘의 식
$\vec{r} \times \vec{F}$ 의 크기(magnitude) 값임을 알 수 있다!

여담으로, 원래 처음에 구하려고 한 값인 
힘 F가 질점에 대해 해 준 일(Work) $W$ 은 
$\Delta W = (r_x F_y - r_y F_x)\Delta \theta$ 을 $\theta$ 에 대해 적분하여
$W = \int{(r_x F_y - r_y F_x)} d \theta = \tau \Delta \theta$ 가 되어
결국 병진운동에서의 물리량을 회전운동에서의 물리량으로 대체하여 유도하는 방법[4] 과 같은 결과를 얻는다 

회전 일

예제

굴림 운동 = 병진 운동 + 회전 운동

각운동량